Gewinnung von Schätzfunktionen

Die Schätztheorie untersucht, wie man geeignete, optimale Schätzfunktionen bestimmt. Es existieren verschiedene Ansätze zur Gewinnung von Schätzfunktionen, wobei die Maximum-Likelihood-Methode eine der bedeutendsten ist. Diese Methode geht davon aus, dass die vorliegende Stichprobe unter allen möglichen Stichproben die größte Wahrscheinlichkeit besitzt, aufzutreten. Diese Methode wird in den zuvor genannten Lehrbüchern detailliert behandelt. In diesem Kapitel konzentrieren wir uns jedoch nur auf die Ergebnisse, die durch derartige Methoden gewonnen werden.

Güte von Schätzfunktionen

Die Qualität einer Schätzfunktion wird anhand verschiedener Kriterien beurteilt. Nachfolgend sind einige wichtige Kriterien aufgelistet:

• Erwartungstreue: Eine Schätzfunktion wird als erwartungstreu oder unverzerrt bezeichnet, wenn ihr Erwartungswert dem wahren Parameterwert entspricht. Erwartungstreue Schätzfunktionen würden bei ausreichend häufiger Wiederholung der Schätzung im Durchschnitt den wahren Parameterwert liefern.

• Konsistenz: Eine Schätzfunktion ist konsistent, wenn sie mit zunehmender Stichprobengröße gegen den wahren Parameterwert konvergiert. Konsistente Schätzer werden also mit wachsendem Stichprobenumfang immer genauer.

• Effizienz: Ein effizienter Schätzer weist unter allen unverzerrten Schätzern für denselben Parameter die geringste Varianz auf. Dies bedeutet, dass er die kleinste Streuung um den wahren Parameterwert besitzt, also präzisere Schätzungen liefert.

Als nächstes werden wir geeignete Schätzfunktionen für den Erwartungswert und die Varianz untersuchen und jeweils deren Güte bewerten. Wie bereits erwähnt, gehen wir in hier davon aus, dass es sich bei der zu analysierenden Grundgesamtheit um eine Normalverteilung handelt.

Schätzung des Erwartungswerts und dessen Güte

Der Stichprobenmittelwert ist ein typisches Beispiel für eine Punktschätzung des Erwartungswerts. Durch die Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode kann gezeigt werden, dass der Stichprobenmittelwert $\bar{y}$ einer Zufallsstichprobe als geeigneter Schätzwert $\hat{\mu}$ für den unbekannten Erwartungswert $\mu$ einer Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachtet werden kann:

$$\hat{\mu} = \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i.$$

Dieser Schätzwert stellt eine Realisierung der Schätzfunktion $\bar{Y}$ dar, definiert als:

$$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i.$$

Schätzung der Varianz und deren Güte

Die empirische Varianz einer Stichprobe kann als Maß für die Streuung der Beobachtungswerte um ihren Mittelwert verwendet werden. Die Formel zur Berechnung dieser Varianz, hier mit $s_\text{emp}^2$ bezeichnet, lautet:

$$s_\text{emp}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2.$$

Statt der empirischen Varianz wird in der Praxis jedoch oft die korrigierte empirische Varianz, hier mit $s^2$ bezeichnet, als Schätzwert $\hat{\sigma}^2$ für die Varianz $\sigma^2$ verwendet:

$$\hat{\sigma}^2 = s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2.$$

Die zu $s^2$ zugehörige Schätzfunktion $S^2$ lautet:

$$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2.$$

Im Folgenden sprechen wir statt von der korrigierten empirischen Varianz jedoch nur von der Stichprobenvarianz. Es ist zu beachten, dass sowohl die Benennungen als auch die entsprechenden Notationen in der Literatur nicht einheitlich verwendet werden. Das heißt, es ist darauf zu achten, welche Konvention bzw. Definition im entsprechenden Kontext gilt.

Die korrigierte Form der Varianz berücksichtigt, dass der unbekannte Erwartungswert selbst aus den Daten geschätzt wurde. Deshalb verringert sich auch der Freiheitsgrad im Nenner von $n$ auf $n-1$. Diese Form der Varianz führt im Unterschied zur ersten Form zu einem erwartungstreuen Schätzer.

Für die Schätzung der Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit wird die Quadratwurzel der Schätzfunktion der Stichprobenvarianz, also $S = \sqrt{S^2}$, verwendet. Diese Funktion ist jedoch nicht erwartungstreu, sondern neigt zu einer leichten Unterschätzung des wahren Wertes.

Grenzen von Punktschätzungen

Eine Schätzfunktion, die den oben genannten Qualitätskriterien entspricht, wird bei ausreichend großem Stichprobenumfang im Durchschnitt korrekte Punktschätzungen liefern. Jedoch erreicht eine Punktschätzung den wahren Parameterwert in der Regel nur zufällig exakt und kann weder die Zuverlässigkeit des Schätzwertes noch die Größe des Schätzfehlers quantifizieren.

Im Gegensatz dazu bezieht die nachfolgend behandelte Intervallschätzung ein Konfidenz- oder Vertrauensniveau mit in die Schätzung ein. Dadurch kann die Unsicherheit des Schätzwertes explizit bewertet werden.

Stichprobe generieren

Das Beispiel beginnt mit der Ziehung einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, wobei wieder ein Merkmal $Y$ untersucht werden soll. Die Grundgesamtheit sei standardnormalverteilt (Erwartungswert $\mu=0$ und Standardabweichung $\sigma=1$).

Die folgende Abbildung zeigt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Grundgesamtheit. Mittels einer Schaltfläche kann eine Stichprobe erzeugt werden, deren Umfang $n$ über einen Schieberegler variiert werden kann. Der Maximalwert von $n$ wird hier nur aus Gründen der Darstellbarkeit begrenzt.

Nach der Ziehung einer Stichprobe wird die Häufigkeitsverteilung der Stichprobe in der Abbildung als Dot-Plot-Histogramm dargestellt. In dieser Darstellungsform entspricht jeder Punkt einem einzelnen Datenpunkt aus der Stichprobe. Bei dieser Darstellungsform muss beachtet werden, dass die Datenpunkte in Klassen (englisch bins) eingeteilt werden, um eine vertikale Stapelung zu ermöglichen. Dadurch kann jedoch der Anschein erweckt werden, als würden Datenpunkte mit unterschiedlichen Stichprobenwerten die gleichen Werte aufweisen.

Zusätzlich wird in der Abbildung der Stichprobenmittelwert $\bar{y}$, die Stichprobenvarianz $s^2$ und die Stichprobenstandardabweichung $s$ angezeigt. Diese Werte werden nach den zuvor angegebenen Formeln berechnet und sind Punktschätzer für den Erwartungswert $\mu$, die Varianz $\sigma^2$ und die Standardabweichung $\sigma$. Diese Schätzwerte sind Realisierungen der zuvor definierten Schätzfunktionen $\bar{Y}$, $S^2$ und $S$. Da diese Schätzfunktionen von den Zufallsvariablen $Y_i$ abhängen, sind auch $\bar{Y}$, $S^2$ und $S$ Zufallsvariablen mit berechenbaren Stichprobenverteilungen. Diese Stichprobenverteilungen werden in den nächsten Abschnitten für die Berechnung der Schätzintervalle verwendet.

Schätzintervall für den Erwartungswert

Die Verteilung von $\bar{Y}$, d. h. die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts, wird als Grundlage zur Berechnung des Schätzintervalls verwendet.

Zunächst betrachten wir den Fall, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit zum Zeitpunkt der Stichprobenziehung bekannt ist. Unter dieser Annahme folgt $Y$ einer Normalverteilung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$. Daraus ergibt sich, dass $\bar{Y}$ ebenfalls einer Normalverteilung folgt. Der Erwartungswert $\mu_{\bar{y}}$ dieser Verteilung entspricht dem Stichprobenmittelwert, also $\mu_{\bar{y}} = \bar{y}$. Die Standardabweichung dieser Verteilung, mit $\sigma_{\bar{y}}$ bezeichnet, beträgt $\sigma/\sqrt{n}$, also dem Standardfehler des Mittelwerts.

Für den Fall, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist, wird diese durch die Stichprobenstandardabweichung geschätzt. In diesem Fall ist die Stichprobenverteilung nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt.

In der folgenden Abbildung ist die Stichprobenverteilung dargestellt. Über das Dropdown-Menü kann ausgewählt werden, ob die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt sein soll oder nicht. Ist sie nicht bekannt und der Stichprobenumfang relativ klein, ist der Unterschied zwischen den beiden Verteilungen gut zu erkennen, da die Verteilungsdichte bei der t-Verteilung breiter ist als bei der Normalverteilung.

Der Maßstab der horizontalen Achse in der obigen Abbildung kann durch Anklicken und Ziehen variiert werden und durch Doppelklicken zurückgesetzt werden. Der ursprüngliche Maßstab entspricht dem Maßstab der vorherigen Abbildung. Dadurch wird der Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Stichprobenverteilung deutlich. Hat man zum Beispiel einen besonders kleinen Stichprobenumfang gewählt, wird der Standardfehler des Mittelwerts und damit die Streuung dieser Verteilung besonders groß.

Darüber hinaus kann über das Dropdown-Menü ein Konfidenzniveau $\gamma$ ausgewählt werden. Ausgehend von diesem Konfidenzniveau wird ein um den Punktschätzwert $\bar{y}$ symmetrisches Schätzintervall $[\bar{y}_\text{u},~\bar{y}_\text{o}]$ bestimmt. Dieses Intervall wird so konstruiert, dass der Flächeninhalt unter der Kurve – begrenzt durch das Schätzintervall – dem Konfidenzniveau entspricht. Der komplementäre Bereich zu dieser Fläche entspricht der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$.

Typische Werte bei der Auswahl des Konfidenzniveaus sind 90%, 95% und 99%. Die Wahl des Konfidenzniveaus hängt von der gewünschten Genauigkeit und der spezifischen Problemstellung ab.

In der obigen Abbildung verändert sich die Farbe der Fläche unter der Verteilungskurve, je nachdem, ob das Schätzintervall den wahren Erwartungswert der Grundgesamtheit (hier $\mu=0$) überdeckt oder nicht. Grün zeigt an, dass der wahre Wert überdeckt wird, während Rot anzeigt, dass er nicht überdeckt wird.

Wenn die Stichprobenziehung sehr oft wiederholt wird, ist zu erwarten, dass die ermittelten Schätzintervalle in $\gamma \cdot 100\%$ aller Fälle den unbekannten Parameter enthalten (überdecken), also ein “grünes Intervall” auftritt. Demnach wird in $\alpha \cdot 100\%$ der Fälle ein “rotes Intervall” auftreten.

Mithilfe der folgenden Animation wird dieser Zusammenhang veranschaulicht. Über die Schaltflächen können Wiederholungen von Stichprobenziehungen ausgeführt werden. Für jede Stichprobenziehung wird das berechnete Schätzintervall im Diagramm angezeigt. Die Farbe des Intervalls gibt wieder an, ob der wahre Wert überdeckt wird oder nicht. Außerdem ist der Anteil $r$ zwischen Überdeckung und Nicht-Überdeckung in der Abbildung angegeben.

Mit zunehmender Anzahl an Wiederholungen strebt der Wert $r$ gegen das zuvor festgelegte Konfidenzniveau $\gamma$. Das heißt, wenn die Berechnung für viele Stichproben aus derselben Grundgesamtheit wiederholt wird, wird sich in $\gamma \cdot 100\%$ der Fälle ein Schätzintervall ergeben, das den wahren Wert des betrachteten Parameters überdeckt.

Standardisierte Zufallsvariablen

Nach der oben beschriebenen Vorgehensweise lassen sich konkrete Werte für die untere und obere Grenze des Schätzintervalls für den Erwartungswert berechnen. Bei manueller Bestimmung von Schätzintervallen oder bei der Intervallschätzung für die Varianz erfolgt die Berechnung jedoch auf Basis von standardisierten Zufallsvariablen und standardisierten Verteilungen. Bei der manuellen Durchführung kann man dadurch auch auf tabellierte Werte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zurückgreifen.

Durch Standardisierung wird für den ersten Fall (bekannte Varianz) aus der normalverteilten Zufallsvariable $\bar{Y}$ die standardnormalverteilte Zufallsvariable $Z$. Die Standardisierung erfolgt über die z-Transformation, also:

$$Z = \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim \operatorname{N}(0,1).$$

Für den zweiten Fall (unbekannte Varianz) wird aus der Zufallsvariable $\bar{Y}$ die t-verteilte Zufallsvariable $T$ mit $n-1$ Freiheitsgraden, bei der statt der Standardabweichung $\sigma$ die aus der Stichprobe geschätzte Standardabweichung $s$ verwendet wird:

$$T = \frac{\bar{Y} - \mu}{s / \sqrt{n}} \sim \operatorname{t}(n-1).$$

In beiden Fällen wird das um Null symmetrische Vertrauensintervall $[z_\text{u}, z_\text{o}]$ bzw. $[t_\text{u}, t_\text{o}]$ anhand der folgenden Bedingungen bestimmt:

$$\begin{align} \operatorname{P}(z_\text{u} \leq Z \leq z_\text{o}) &= \gamma \\ \operatorname{P}(t_\text{u} \leq T \leq t_\text{o}) &= \gamma \end{align}$$

Die nachfolgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte und die um Null symmetrische Fläche unter dieser Kurve, die einen Flächeninhalt entsprechend des Konfidenzniveaus einnimmt. Der linke und rechte Teil unter der Kurve, außerhalb des Schätzintervalls, besitzt jeweils einen Flächeninhalt von $\alpha/2$.

Mit diesem Wissen über die Aufteilung der Flächeninhalte lassen sich die Grenzen des Intervalls bestimmen. Wir suchen zum einen den Wert von $z_\text{u}$ (bzw. $t_\text{u}$), sodass der unter der Kurve liegende Flächeninhalt von $-\infty$ bis zu diesem Wert dem Wert $\alpha/2$ entspricht. Darüber hinaus suchen wir den Wert von $z_\text{o}$ (bzw. $t_\text{o}$), sodass der unter der Kurve liegende Flächeninhalt von $-\infty$ bis zu diesem Wert dem Wert $\alpha/2 + \gamma = 1 - \alpha/2$ entspricht. Diese Werte können wir entweder mithilfe von Statistiksoftware oder unter Verwendung von tabellierten Werten der jeweiligen Wahrscheinlichkeitsverteilung ermitteln.

Durch die Nutzung einer Software können diese Werte mithilfe der Quantilsfunktion für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet werden. Die Quantilsfunktion ist die inverse Funktion der Verteilungsfunktion. Sie gibt für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitswert $p$ (also Flächeninhalt unter der Dichtekurve) den zugehörigen Wert $z$ (bzw. $t$) zurück. Also bei gegebenen Flächeninhalt, gibt diese Funktion die Grenze an, die diese Fläche bestimmt.

Alternativ werden diese Werte mithilfe von Tabellenwerten (z.B. bei Papula, 2017) für gegebene Quantile (z.B. 0.90, 0.95, 0.975, 0.99) bestimmt. Durch Symmetrieeigenschaften können auch die Werte für die Gegenquantile bestimmt werden.

In der nachfolgenden Tabelle sind typische Wertepaare von Wahrscheinlichkeiten und zugehörige Quantile für die Standardnormalverteilung aufgeführt:

Bei der Benutzung einer t-Verteilung ist sowohl bei der Auswertung der Quantilsfunktion mithilfe einer Statistiksoftware als auch bei der Benutzung einer Tabelle noch der zugrundeliegende Freiheitsgrad zu berücksichtigen. Die Verwendung unterscheidet sich im Prinzip aber nicht.

Anhand der Definition von $Z$ und $T$ sowie den zuvor aufgestellten Bedingungen $\operatorname{P}(z_\text{u} \leq Z \leq z_\text{o}) = \gamma$ bzw. $\operatorname{P}(t_\text{u} \leq T \leq t_\text{o}) = \gamma$ können Ungleichungen für den unbekannten Mittelwert formuliert werden, die die Bestimmungsgleichungen für die untere und obere Grenzen für die Konfidenzintervalle beinhalten:

$$\begin{array}{rrlcll} &z_\text{u} & \leq & Z & \leq & z_\text{o}\\ \Leftrightarrow & z_\text{u} &\leq& \frac{ \bar{Y} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} & \leq& z_\text{o}\\ \Leftrightarrow & \bar{Y} + z_\text{u} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} &\leq& \mu &\leq & \bar{Y} + z_\text{o} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{array}$$

Für den zweiten Fall unter Verwendung der t-Verteilung erfolgt die Vorgehensweise analog.

Auf diese Weise können die folgenden Formeln für die Grenzen der Schätzintervalle bestimmt werden, wobei wir für die Schätzfunktion $\bar{Y}$ den aus der Stichprobe ermittelten Schätzwert $\bar{y}$ verwenden:

$$\begin{align*} \bar{y}_\text{u} &= \bar{y} + z_\text{u} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \text{und} \\ \bar{y}_\text{o} &= \bar{y} + z_\text{o} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \text{bzw.} \\ &\\ \bar{y}_\text{u} &= \bar{y} + t_\text{u} \frac{s}{\sqrt{n}} \qquad \text{und} \\ \bar{y}_\text{o} &= \bar{y} + t_\text{o} \frac{s}{\sqrt{n}}. \end{align*}$$

Da $z_\text{u} = -z_\text{o}$ bzw. $t_\text{u} = -t_\text{o}$ erkennt man, dass es sich um ein um $\bar{y}$ symmetrisches Intervall handelt.

Schätzintervall für die Varianz

Ähnlich wie für den Erwartungswert kann auch für die Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit ein Schätzintervall bestimmt werden. Wir gehen von einer Grundgesamtheit mit einem (bekannten oder unbekannten) Erwartungswert $\mu$ und einer unbekannten Varianz $\sigma^2$ aus. Aus einer konkreten Zufallsstichprobe soll ein Schätzintervall für diese Varianz bestimmt werden. Als Schätzfunktion verwenden wir die zuvor definierte Stichprobenfunktion für die korrigierte empirische Varianz. Auf deren Grundlage lässt sich eine Zufallsvariable (Stichprobenfunktion) $Q$ bilden, die einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $\nu = n - 1$ Freiheitsgraden folgt:

$$Q = (n - 1) \frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$$

Nach Festlegung eines bestimmten Konfidenzniveaus $\gamma$ können die Grenzen $q_\text{u}$ und $q_\text{o}$ so bestimmt werden, dass die Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeit $\gamma$ Werte innerhalb dieser Grenzen annimmt. Die Berechnung der Intervallgrenzen erfolgt nach der Bedingung

$$\operatorname{P}(q_\text{u} \leq Q \leq q_\text{o}) = \gamma = 1 - \alpha.$$

Der Flächenanteil der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ wird dabei gleichmäßig auf beide Seiten der Dichtefunktion verteilt. Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit zur Stichprobe passenden Freiheitsgraden. Darüber hinaus ist der Flächeninhalt passend zum Konfidenzniveau sowie die untere und obere Grenze des Schätzintervalls angegeben.

Die Berechnung der Werte für $q_\text{u}$ und $q_\text{o}$ erfolgt wieder wie oben beschrieben mithilfe von Statistiksoftware und der Quantilsfunktion oder mit tabellierten Werten der Chi-Quadrat-Verteilung.

Aus der oben genannten Bedingung und folgenden Umformungen können die untere und obere Grenze für das Schätzintervall der Varianz bestimmt werden, wobei für die Schätzfunktion $S^2$ der ermittelte Schätzwert $s^2$ verwendet wird:

$$\begin{array}{rrlcll} & q_\text{u} &\leq& Q & \leq& q_\text{o}\\ \Leftrightarrow & q_\text{u} &\leq& (n - 1) \frac{S^2}{\sigma^2} & \leq& q_\text{o}\\ \Leftrightarrow & (n - 1) \frac{S^2}{q_\text{o}} &\leq& \sigma^2 & \leq& (n - 1) \frac{S^2}{q_\text{u}}. \end{array}$$

Daten importieren

Hier wird der Datensatz mice aus dem Paket datarium verwendet. Da das Paket nicht standardmäßig installiert ist, muss es bei lokaler Ausführung gegebenenfalls über install.packages() installiert werden (hier jedoch nicht erforderlich). Über den Befehl library() und der Angabe des Namens des Paketes wird das Paket geladen. Durch die Angabe des Namens des Datensatzes wird dieser ausgegeben.

# install.packages("datarium")
library("datarium")
mice

Punktschätzung für den Erwartungswert und die Varianz

Zuerst definieren wir folgende Variablen mit festen Werten, Konfidenzniveau gamma, Irrtumswahrscheinlichkeit alpha und Freiheitsgrad nu:

gamma <- 0.95 
alpha <- 1 - gamma

Aus den Stichprobendaten kann der Stichprobenumfang sample_size und der Freiheitsgrad degrees_of_freedom berechnet werden:

sample_size <- length(mice$weight)
degrees_of_freedom <- sample_size - 1

Der Mittelwert mean_value wird über die Funktion mean() berechnet, die Varianz variance über die Funktion var(). Dies sind die Punktschätzungen für die gesuchten Parameter:

mean_value <- mean(mice$weight)
variance <- var(mice$weight)

Intervallschätzung für den Erwartungswert

Danach werden der Standardfehler für den Mittelwert, das Quantil der t-Verteilung für die gegebene Wahrscheinlichkeit und der Freiheitsgrad berechnet:

standard_deviation <- sd(mice$weight)
standard_error <- standard_deviation / sqrt(n)
t_score <- qt(p = 1-alpha/2, df = degrees_of_freedom) 
margin_error <- t_score * standard_error

Damit lassen sich die untere und obere Grenze berechnen und ausgeben:

lower_bound_mean <- mean_value - margin_error
upper_bound_mean <- mean_value + margin_error

# Ausgabe
lower_bound_mean
upper_bound_mean

Intervallschätzung für die Varianz

Für die Intervallschätzung der Varianz werden zuerst die Werte zu den Quantilen $\alpha/2$ und $1-\alpha/2$ mithilfe der Quantilsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung bestimmt:

chi2_lower <- qchisq(p = alpha/2, df= degrees_of_freedom)
chi2_upper <- qchisq(p = 1 - alpha/2, df= degrees_of_freedom)

Abschließend können die untere und obere Grenze berechnet werden:

lower_bound_variance <- (n-1) * variance / chi2_upper 
upper_bound_variance <- (n-1) * variance / chi2_lower 

lower_bound_variance 
upper_bound_variance 

Daten importieren

Wie zuvor wird auch hier der Datensatz mice aus dem Paket datarium verwendet. Die Daten können aus der nachfolgenden Datentabelle via Copy/Paste in den SPSS-Dateneditor in der Datenansicht eingefügt werden. Nach dem Einfügen der Spaltennamen muss die erste Zeile im Dateneditor manuell gelöscht werden.

Variablen benennen

Für eine bessere Nachvollziehbarkeit können die Spalten in der Variablenansicht umbenannt werden. In jedem Fall müssen der Typ, die Dezimalstellen und das Maß korrekt angegeben werden.

Punkt- und Intervallschätzwert für den Mittelwert

Die Berechnung erfolgt über die Menüabfolge Analysieren > Deskriptive Statistiken > Explorative Datenanalyse….

Als Abhängige Variable wird weight ausgewählt. Unter Statistiken… sollte die Option Deskriptive Statistik aktiviert und das Konfidenzintervall für den Mittelwert auf 95% eingestellt sein.

In der Ausgabe erscheinen der Mittelwert und das 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert.

Punkt- und Intervallschätzwert für die Varianz

Die Berechnung startet über Analysieren > Deskriptive Statistiken > Deskriptive Statistik….

Als Variable(n) wird weight ausgewählt und unter Optionen… die Varianz aktiviert.

In der Ausgabe werden die Werte für den Stichprobenumfang und die Varianz angezeigt.

COMPUTE N = 10.
COMPUTE df = N - 1.
COMPUTE alpha = 0.05.
COMPUTE Varianz = 3.596.

COMPUTE Chi2_Lower = IDF.CHISQ(alpha/2, df).
COMPUTE Chi2_Upper = IDF.CHISQ(1-alpha/2, df).

COMPUTE Var_Lower = (df * Varianz) / Chi2_Upper.
COMPUTE Var_Upper = (df * Varianz) / Chi2_Lower.

EXECUTE.