Einleitung

Statistisches Testen ist eine grundlegende Methode in Wissenschaft und Praxis. Sie dient dazu, Hypothesen, also begründete Vermutungen über die Beziehung von Merkmalen in einer Grundgesamtheit, anhand von Stichproben zu überprüfen. Man spricht deshalb auch von Hypothesentests. In der Regel stehen sich dabei zwei entgegengesetzte Hypothesen gegenüber: die Nullhypothese, die meist dem wissenschaftlichen Ist-Zustand wiedergibt, und die Alternativhypothese, die einen gewünschten Erkenntnisgewinn beschreibt. Oft wird die Annahme der Alternativhypothese angestrebt, wobei aber auch Problemstellungen existieren, bei denen auf die Formulierung einer Alternativhypothese verzichtet werden kann oder bei denen die Annahme (oder Nichtablehnung) der Nullhypothese angestrebt wird. Ein Beispiel wäre die Überprüfung eines Sollwertes in einem Produktionsprozess. In diesem Fall besagt die Nullhypothese, dass der Sollwert eingehalten wird, und es wird die Nichtablehnung angestrebt. Die aufgestellte Nullhypothese wird anhand einer Stichprobe überprüft. Widerspricht das Stichprobenergebnis nicht dieser Hypothese, wird diese beibehalten. In diesem Fall spricht man auch von einem Signifikanztest.

Hypothesen aufstellen

Sowohl der Einstichproben-t-Test als auch der Einstichproben-z-Test lassen sich für drei verschiedene Hypothesenpaare durchführen. Im einfachsten Fall wird anhand des arithmetischen Mittels $\bar{y}$ einer Stichprobe die Hypothese geprüft, dass der Erwartungswert $\mu$ der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe entnommen wurde, einen bestimmten Erwartungswert $\mu_0$ aufweist. Dieser Wert wird auch als Hypothesenwert bezeichnet. Die Nullhypothese $\text{H}_0$ lautet also $$\text{H}_0: \quad \mu = \mu_0,$$ d.h. der Erwartungswert der Grundgesamtheit stimmt mit dem Hypothesenwert überein. Die Alternativhypothese $\text{H}_1$ lautet hier
$$\text{H}_1: \quad \mu \neq \mu_0.$$ Bei diesem Hypothesenpaar spricht man auch von einem zweiseitigen Test. Diese Bezeichnung wird deutlich, wenn später die Teststatistiken und die entsprechenden Annahme- und Ablehnungsbereiche betrachtet werden.

Neben dem zweiseitigen (oder ungerichteten) Test, der sowohl auf zu hohe als auch auf zu niedrige Abweichungen prüft, existieren auch einseitige (rechts- oder linksgerichtete) Tests. Diese Tests werden durchgeführt, wenn das zu untersuchende Problem Einschränkungen hinsichtlich der Richtung der Abweichung mit sich bringt. In diesem Kapitel wird exemplarisch nur der zweiseitige Test vorgestellt; die konzeptionelle Erweiterung auf den einseitigen Test ist jedoch einfach möglich.

Daten erheben

In der Praxis erfolgt die Datenerhebung durch die Ziehung einer Zufallsstichprobe oder durch die Erfassung von Beobachtungen, die für eine Grundgesamtheit repräsentativ sind. Eine Grundgesamtheit ist die Menge ähnlicher Objekte bzw. statistischer Einheiten, die im Hinblick auf ein bestimmtes Merkmal untersucht werden sollen. Eine Teilmenge von $n$ Einheiten, die zufällig und unabhängig voneinander aus der Grundgesamtheit ausgewählt werden, wird als Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ bezeichnet. Das zu untersuchende Merkmal wird durch eine Zufallsvariable $Y$ beschrieben. Die beobachteten Merkmalswerte oder Ausprägungen $y_1, y_2, \ldots, y_n$ sind Realisierungen dieser Zufallsvariablen und werden als Stichprobenwerte bezeichnet. Ein Beispiel für ein zu untersuchendes Merkmal könnte die Länge eines Werkstücks in einem Fertigungsprozess sein. Die zugehörige Grundgesamtheit könnte eine Tagesproduktion sein, und die Stichprobe könnte eine Teilmenge daraus sein.

In dem hier vorgestellten Beispiel erfolgt die Ziehung einer Stichprobe per Simulation. Die folgende Abbildung zeigt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Grundgesamtheit. Es handelt sich um eine Normalverteilung mit vorgegebenen Parametern für Erwartungswert $\mu_0$ und Standardabweichung $\sigma$ ($\mu_0=5$, $\sigma=1)$. Die konkreten Zahlenwerte sind hier nur beispielhaft gewählt. Bei dieser Verteilung soll es sich um die Grundgesamtheit unter Gültigkeit der Nullhypothese handeln. Aus einer weiteren Normalverteilung kann über die Schaltfläche eine Stichprobe erzeugt werden, deren Umfang $n$ über den Schieberegler variiert werden kann. Der Maximalwert von $n$ ist hierbei nur aus Gründen der besseren Darstellbarkeit begrenzt. Der Erwartungswert $\mu$ der Verteilung, aus der die Strichprobe gezogen wird, ist zu diesem Zeitpunkt noch unbekannt. Allerdings ist der Wert der Varianz bekannt, der dem der Grundgesamtheit unter der Nullhypothese entspricht. Die Kenntnis der Varianz ist eine Voraussetzung für den z-Test. Ziel des Tests ist es, festzustellen, ob der Ursprung der Stichprobe mit der Grundgesamtheit unter der Nullhypothese vereinbar ist, also nicht stärker abweicht als durch Zufall zu erwarten wäre.

Nach der Ziehung der Stichproben wird die Häufigkeitsverteilung der Stichproben ebenfalls in der Abbildung dargestellt. Außerdem ist der Stichprobenmittelwert $\bar{y}$ angegeben. Dieser wird mit

$$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i$$

berechnet und ist ein Schätzwert für den unbekannten Mittelwert $\mu$. Bei dem Schätzwert handelt es sich um eine Realisierung der Stichprobenfunktion $\bar{Y}$, wobei

$$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i.$$

In dieser Formel sind $Y_i$ unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung wie $Y$ aufweisen. Stichprobenfunktionen werden auch als Statistiken und im Falle von Hypothesentests genauer als Teststatistiken bezeichnet. Da $\bar{Y}$ von den Zufallsvariablen $Y_i$ abhängt, ist $Y$ ebenfalls eine Zufallsvariable mit einer berechenbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Voraussetzungen prüfen

Jeder statistische Test unterliegt gewissen Voraussetzungen, die vor Durchführung geprüft werden müssen oder deren Einhaltung plausibel begründet werden muss. Die Einhaltung der Voraussetzungen ist z.B. durch vorangegangene Untersuchungen, Erfahrungswerte oder durch das Versuchsdesign gegeben. Folgende Voraussetzugen müssen für die Durchführung des z-Tests erfüllt sein:

1. Die Stichprobenwerte bzw. Beobachtungen müssen zufällig gezogen werden und voneinander unabhängig sein. Das bedeutet, dass alle statistische Einheiten die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, ausgewählt zu werden, und dass sich die Stichprobenwerte nicht gegenseitig beeinflussen.

2. Die Zufallsvariable $\bar{Y}$ sollte (annähernd) normalverteilt sein. Diese Voraussetzung ist gegeben, wenn die Stichprobe selbst aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt. Bei ausreichend großem Stichprobenumfang ($n \geq 30$) kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes auch bei nicht normalverteilten Grundgesamtheiten ebenfalls von einer angenäherten Normalverteilung ausgegangen werden.

3. Die Standardabweichung $\sigma$ der Grundgesamtheit muss bekannt sein. Für ausreichend große Stichprobenumfänge ($n \geq 30$) kann die Standardabweichung jedoch auch aus der Stichprobe geschätzt werden, da die Stichprobenstandardabweichung dann eine gute Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit darstellt. Bei unbekannter Standardabweichung und geringen Stichprobenumfängen wird sonst der t-Test angewendet.

In diesem Beispiel sind alle Voraussetzugen aufgrund der Art der Datengenerierung erfüllt.

Teststatistik berechnen

Die Teststatistik eines statistischen Tests ist eine an das konkrete Problem angepasste Stichprobenfunktion, aus der ein von den Stichprobendaten abhängiger Prüfgrößenwert berechnet wird. Dieser Prüfgrößenwert wird zur Bewertung der Nullhypothese herangezogen. Neben der Bezeichnung Teststatistik sind u.a. die Bezeichnungen Test- oder Prüfvariable gebräuchlich. Je nach Art des Hypothesentests nimmt die Teststatistik unterschiedliche Formen an. In jedem Fall gilt jedoch, dass ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung als bekannt oder annähernd bekannt vorausgesetzt werden muss. Die passende Teststatistik für den z-Test ist die Stichprobenfunktion $\bar{Y}$. Unter der Bedingung, dass $Y$ normalverteilt ist mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$, folgt $\bar{Y}$ ebenfalls einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu_{\bar{y}} = \mu$ und der Standardabweichung $\sigma_{\bar{y}}=\sigma/\sqrt{n}$. Die Standardabweichung der Teststatistik ist der Standardfehler des Mittelwertes (vgl. Zentraler Grenzwertsatz) und ist damit abhängig vom Stichprobenumfang. Nimmt man zusätzlich die Gültigkeit der Nullhypothese an, so hat die Verteilung der Teststatistik den Erwartungswert $\mu_{\bar{y}} = \mu_0$ und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird als Nullverteilung bezeichnet. Die Nullverteilung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Der Maßstab der horizontalen Achse in der Abbildung kann durch Anklicken und Ziehen variiert werden und durch Doppelklicken zurückgesetzt werden. Der ursprüngliche Maßstab entspricht dem Maßstab der Abbildung im Schritt “Daten erheben”. Dadurch wird der Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Nullverteilung deutlich. Wählt man mit dem Schiebregler zum Beispiel einen besonders kleinen Stichprobenumfang, wird der Standardfehler des Mittelwerts und damit die Streuung der Verteilung besonders groß.

Schlussfolgerung

Anhand des p-Werts wird entschieden, ob die Nullhypothese abgelehnt oder beibehalten wird. Ist der p-Wert kleiner als das zuvor festgelegte Signifikanzniveau $\alpha$ (z.B. 0.05), wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen. Im vorliegenden Beispiel besagt die Alternativhypothese, dass sich der Erwartungswert $\mu$ vom Hypothesenwert $\mu_0$ unterscheidet. Wenn die Alternativhypothese angenommen wird, geht man nicht mehr von einer nur zufälligen Abweichung zwischen Stichprobenmittelwert und Hypothesenwert aus, sondern spricht von einer statistisch signifikanten Abweichung. Wenn der p-Wert hingegen größer als das Signifikanzniveau ist, wird die Nullhypothese beibehalten.

Fehlerarten

Die Testentscheidung, ob die Null- bzw. Alternativhypothese angenommen oder abgelehnt wird, kann zu vier verschiedenen Situationen führen, abhängig davon, welche Option aufgrund der Stichprobe gewählt wird und welche Hypothese tatsächlich wahr ist. In der folgenden Tabelle sind diese vier Situationen zusammengefasst.

Zwei der möglichen Ausgängen führen zu einer richtigen Testentscheidung. Das bedeutet aber auch, dass trotz eines korrekt durchgeführten Tests eine Fehlentscheidung getroffen werden kann. Diese werden als Fehler 1. und 2. Art bzw. $\alpha$- und $\beta$-Fehler bezeichnet. Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese aufgrund des Stichprobenergebnisses verworfen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist. Die Irrtumswahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art wird mit $\alpha$ bezeichnet und entspricht dem Signifikanzniveau. Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, obwohl sie in der Realität nicht zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art wird mit $\beta$ bezeichnet. Die Gegenwahrscheinlichkeit $1-\beta$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch den Test die wahre Alternativhypothese angenommen wird. Diese Wahrscheinlichkeit wird als Trennschärfe oder Teststärke (Power) des Testverfahrens bezeichnet.

Die einzelnen Fehlerwahrscheinlichkeiten können als Flächen unter der Null- und der Alternativverteilung dargestellt werden. Die Alternativverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Teststatistik im Falle einer gültigen Alternativhypothese. Der Fehler 1. Art wurde bereits im Zusammenhang mit dem Signifikanzniveau erläutert und visualisiert. In der folgenden Abbildung wird dieser Fehler als Fläche unter der Nullverteilung dargestellt. Über das Dropdown-Menü kann die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ variiert werden.

Zusätzlich zur Nullverteilung kann auch die Alternativverteilung eingeblendet werden. Im Gegensatz zu den bisherigen Annahmen wird nun der Alternativhypothese ein konkreter Wert zugewiesen. Bisher lautete die Alternativhypothese $H_1\!:~\mu\neq\mu_0$. Dabei handelte es sich um eine zusammengesetzte Hypothese, die alle Werte umfasste, die nicht mit $\mu_0$ übereinstimmten. Um den Fehler 2. Art zu quantifizieren, ist es jedoch notwendig, dass sich die Alternativhypothese auf einen konkreten Alternativwert $\mu_1$ bezieht. Dadurch wird die Alternativhypothese zu einer einfachen oder punktförmigen Hypothese, also $H_1\!:~\mu=\mu_1$. In der Abbildung kann dieser Wert variiert werden. In dem vorliegenden Beispiel ist $\mu_1$ der Erwartungswert der Verteilung, aus der die zuvor generierte Stichprobe stammt. Diese Verteilung war in den vorangegangenen Schritten unbekannt. Durch Variation des Alternativwertes ist es jetzt möglich, Stichproben zu generieren, die sehr nahe am Hypothesenwert liegen oder sehr weit davon entfernt sind.

Die Fläche unter der Alternativverteilung, die sich über den zuvor definierten Annahmebereich erstreckt, entspricht der Wahrscheinlichkeit $\beta$ eines Fehlers 2. Art und kann über die Legende eingeblendet werden. Wenn man die Irrtumswahrscheinlichkeit bei ansonsten unveränderten Werten für $\mu_0$, $\mu_1$ und $n$ variiert, wird eine wichtige Erkenntnis deutlich. Verringert man die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, erhöht man gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art. Die Reduzierung der einen Fehlerart wird also durch die Erhöhung der anderen Fehlerart erkauft. Eine Möglichkeit, auch die Wahrscheinlichkeit $\beta$ zu verringern, besteht darin, den Stichprobenumfang zu erhöhen. Dadurch verringert sich die Streubreite der Verteilungen und damit auch die Überdeckungen.

Manuelle Durchführung

Statistische Tests werden in der Regel mithilfe von Statistiksoftware durchgeführt. Um jedoch das Verständnis für die hier vorgestellte Methode zu vertiefen, erfolgt zunächst die manuelle Durchführung eines Anwendungsbeispiels, gefolgt von der Durchführung mit R und SPSS.

Wie bereits erläutert, besitzt der t-Test in der Praxis eine größere Bedeutung als der z-Test, weshalb dieser Test hier durchgeführt wird.

Für Demonstrationszwecke wird der mice-Datensatz aus dem R-Paket datarium verwendet. Dieses Paket beinhaltet noch weitere Datensätze, die häufig zur Veranschaulichung statistischer Methoden genutzt werden. Die nachfolgende Datentabelle enthält die Messwerte dieses Datensatzes.

Der verwendete Datensatz enthält zehn Zeilen und zwei Spalten, wobei die erste Spalte einen Bezeichner und die zweite das Gewicht von Mäusen in Gramm enthält. Diese Gewichtsmessungen entsprechen den beobachteten Merkmalswerten $y_1, y_2, \dots, y_n$.

Ziel des statistischen Tests ist es, zu prüfen, ob das durchschnittliche Gewicht der Mäuse signifikant von einem festgelegten Hypothesenwert von $22\,\text{g}$ abweicht. Hierfür wird ein Einstichproben-t-Test angewendet, wobei ein Signifikanzniveau von $5\,\%$ gewählt wird.

Aus den Daten lassen sich der Stichprobenumfang $n$, der Stichprobenmittelwert $\bar{y}$ und die Stichprobenstandardabweichung $s$ bestimmen. Die hier dargestellten Zahlenwerte werden mit maximal drei signifikanten Stellen und ohne Einheiten ausgegeben:

$$\begin{align*} n &= 10~, \\ &\\ \bar{y} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i \\ &= 20.1~,\\ &\\ s &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 \\ &= 1.9~. \end{align*}$$

Der Hypothesenwert $\mu_0$ wird festgelegt auf
$$\mu_0 = 22~.$$

Auf Basis dieser Angaben lässt sich der Prüfgrößenwert $t$ berechnen:

$$\begin{align*} t &= \frac{ \bar{y} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \\ &= -3.1~. \end{align*}$$

Die dazugehörige Teststatistik $T$ folgt einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad $\nu$:

$$\begin{align*} \nu &= n - 1\\ &= 9~. \end{align*}$$

Da keine spezifische Richtung der Abweichung vom Hypothesenwert angenommen wird, wird ein zweiseitiger t-Test durchgeführt. Dies bedeutet, dass sowohl deutlich höhere als auch niedrigere Werte als der Hypothesenwert als Indikatoren gegen die Nullhypothese gewertet werden.

Der gesuchte p-Wert für den zweiseitigen t-Test wird folgendermaßen berechnet:

$$\begin{align*} p &= 2 ~ \operatorname{P}(T > |t|;~\nu) \\ &= 2 ~ (1 - F(|t|;~\nu)) \\ &= 0.0127 \end{align*}$$

In dieser Formel ist $\operatorname{P}(T > |t|)$ die Wahrscheinlichkeit, einen Prüfgrößenwert zu erhalten, der betragsmäßig den beobachteten Wert überschreitet. Die Funktion $F(q; \nu)$ ist die kumulative Verteilungsfunktion der t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad $\nu$.

Da der p-Wert das festgelegte Signifikanzniveau von $5\,\%$ unterschreitet, folgern wir, dass der Mittelwert der Stichprobe signifikant vom Hypothesenwert abweicht.

Durchführung in R

Für die Durchführung des t-Tests in R wird die Funktion t.test() verwendet, die in R immer zur Verfügung steht, ohne dass ein zusätzliches Paket geladen werden muss.

Im Gegensatz dazu existiert für die Durchführung des z-Tests in der Basisversion von R kein eigener Befehl. Jedoch kann die Funktionalität über ein Paket eingebunden werden (z.B. die Funktion Gauss.test() aus dem Paket Compositions, oder die Funktion z.test() aus dem Paket BSDA).

# install.packages("datarium")
library("datarium")
mice

t.test(x = mice$weight, mu = 22) 

Durchführung in SPSS

In SPSS wird der t-Test anhand der graphischen Benutzeroberfläche durchgeführt.

Literaturverzeichnis

Fahrmeier, L., Heumann, C., Künstler, R., Pigeot, I., & Tutz, G. (2016). Statistik - Der Weg zur Datenanalyse (8. Auflage). Springer Spektrum.

Papula, L. (2016). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Band 3 - Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung (7. Auflage). Springer Vieweg.

Steland, A. (2016). Basiswissen Statistik - Kompaktkurs für Anwender aus Wirtschaft, Informatik und Technik (4. Auflage). Springer Spektrum.

Wolfram Research (2010). Hypothesis Tests. Wolfram Language function. https://reference.wolfram.com/language/guide/HypothesisTests.html